Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元～1000萬(wàn)元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．
（Ⅰ）若建立函數(shù)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型的基本要求；
（Ⅱ）現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：（1）y=

x

150

+2；（2）y=4lgx-3．試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)“獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，說(shuō)明在定義域上是增函數(shù)，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，即f（x）≤9，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．即f(x)≤

x

5

．
（Ⅱ）根據(jù)（I）去判斷，（1）對(duì)于函數(shù)模型f(x)=

x

150

+2，由一次函數(shù)的性質(zhì)研究，是否滿足第一，二兩個(gè)條件，構(gòu)造函數(shù)

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

，由反比例函數(shù)性質(zhì)研究是否滿足第三個(gè)條件．
（2）對(duì)于函數(shù)模型f（x）=4lgx-3，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究
是否滿足第一，二兩個(gè)條件，再用作差法研究是否滿足第三個(gè)條件即：4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立．（3分）
（Ⅱ）（1）對(duì)于函數(shù)模型f(x)=

x

150

+2：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則f(x)max=f(1000)=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9．
所以f（x）≤9恒成立．（5分）
因?yàn)楹瘮?shù)

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

在[10，1000]上是減函數(shù)，所以[

f(x)

x

]max=

1

150

+

1

5

＞

1

5

．
從而

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

≤

1

5

，即f(x)≤

x

5

不恒成立．
故該函數(shù)模型不符合公司要求．（8分）

（2）對(duì)于函數(shù)模型f（x）=4lgx-3：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．（10分）
設(shè)g（x）=4lgx-3-

x

5

，則g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
當(dāng)x≥10時(shí)，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．
故該函數(shù)模型符合公司要求．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇，其實(shí)質(zhì)是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)，確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實(shí)際意義符號(hào)化．