Question

已知，橢圓C過點(diǎn)A(1，

3

2

)，兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程代入已知條件得

1

1+b2

+

9

4b2

=1，求出b，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，再點(diǎn)A(1，

3

2

)在橢圓上，結(jié)合直線的位置關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意，c=1，
可設(shè)橢圓方程為

1

1+b2

+

9

4b2

=1，
解得b²=3，b2=-

3

4

（舍去）
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：y=k(x-1)+

3

2

，
代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），
因?yàn)辄c(diǎn)A(1，

3

2

)在橢圓上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=kxE+

3

2

-k．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
在上式中以-K代K，可得xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，yF=-kxF+

3

2

+k
所以直線EF的斜率KEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

=

1

2

即直線EF的斜率為定值，其值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．