Question

【題目】如圖，P是直線(xiàn)x=4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1，0），直線(xiàn)l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線(xiàn)，過(guò)A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線(xiàn)分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）求證：|EA|+|EB|為定值；
（2）設(shè)直線(xiàn)l交直線(xiàn)x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB||FQ|=|BF|EQ|．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)AE切圓于M，直線(xiàn)x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，

∴|EA|+|EB|=|AM|= = = =4為定值；

（2）證明：同理|FA|+|FB|=4，

∴E，F(xiàn)均在橢圓 =1上，

設(shè)直線(xiàn)EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ= ，

直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∵E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線(xiàn)上，

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|等價(jià)于﹣y1 +y1y2=y2 ﹣y1y2，

∴2y1y2=（y1+y2） ，

代入y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ 成立，

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|．

【解析】（1）設(shè)AE切圓于M，則EM=EB，即|EA|+|EB|=|AM|即可求出；
（2）先確定E，F(xiàn)均在橢圓上，設(shè)直線(xiàn)EF的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線(xiàn)上，即|EB||FQ|=|BF|EQ|等價(jià)于利用韋達(dá)定理，即可證明。
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)；圓與直線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．