Question

對(duì)a，b∈R，已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，前n項(xiàng)和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N*）；
等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b，公比為a．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n、b_n；
（Ⅱ）對(duì)k∈N*，設(shè)f（n）=

an-4n+2，n=2k-1 log2 bn 5 +n，n=2k

若存在正整數(shù)m使f（m+11）=2f（m）成立，求數(shù)列{f（n）}的前10m項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，前n項(xiàng)和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N^*），利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出a和b，由此能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n、b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

，再分m為正偶數(shù)和m為正奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，求出m，由此能求出{f（n）}的前10m項(xiàng)的和．

解答：解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為b，
前n項(xiàng)和

S

n

=

5

2

n2-

1

2

n(n∈N^*），
∴na+

n(n-1)

2

b=

5

2

n2-

1

2

n，
解得a=2，b=5，
∴a_n=2+（n-1）×5=5n-3，
b_n=b•a^n-1=5×2^n-1．
（Ⅱ）∵a_n=5n-3，b_n=5×2^n-1．
∴f（n）=

an-4n+2，n=2k-1 log2 bn 5 +n，n=2k

=

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

，
（1）當(dāng)m為正偶數(shù)，則m+11是正奇數(shù)，
f（m+11）=m+10，f（m）=2m-1．
代入f（m+11）=2f（m）中，得m+10=2（2m-1），解得m=4；
（2）若m為正奇數(shù)時(shí)，則m+11是正偶數(shù)，
則f （m+11）=2（m+11）-1=2 m-21，f （m）=m-1．
代入f（m+11）=2f（m）中，得2 m-21=2（m-1），
解得19=0，顯然不成立，此是m不存在．
故所求m=4．
設(shè){f（n）}的前n項(xiàng)和為S ，
則S_10m=S₄₀=（0+2+4+…+38）+（3+7+11+…+79）
=

20(0+38)

2

+

20(3+79)

2

=1200．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．