【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點為F2(3,0),離心率為e.
(Ⅰ)若 ,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點,M,N分別為線段AF2 , BF2的中點.若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上,且 ,求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意得 ,得 .
結(jié)合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3.
所以,橢圓的方程為 .
(Ⅱ)由 得(b2+a2k2)x2﹣a2b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
所以 ,
依題意,OM⊥ON,
易知,四邊形OMF2N為平行四邊形,
所以AF2⊥BF2,(7分)
因為 , ,
所以 .
即 ,
將其整理為k2=﹣ =﹣1﹣
因為 ,所以 ,12≤a2<18.
所以 ,即 .
【解析】(Ⅰ)由題意得 ,得 ,由此能求出橢圓的方程.
(Ⅱ)由 得(b2+a2k2)x2﹣a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).所以 ,依題意OM⊥ON知,四邊形OMF2N為矩形,所以AF2⊥BF2,因為 , ,所以 .由此能求出k的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點E(﹣2,0),點P時圓F:(x﹣2)2+y2=36上任意一點,線段EP的垂直平分線交FP于點M,點M的軌跡記為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過F的直線交曲線C于不同的A、B兩點,交y軸于點N,已知 =m , =n ,求m+n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2= ,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
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【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為 .
(Ⅰ)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(Ⅱ)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(Ⅲ)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃。F(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為ξ,求ξ的分布列,數(shù)學(xué)期望以及方差;大氣污染會引起各種疾病,試淺談日常生活中如何減少大氣污染.
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式K2= 其中n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)證明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:①對于任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2);②函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù);③當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=ex﹣ ,a=f(﹣5),b=f( ).c=f( ),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.c<a<b
D.b<a<c
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【題目】網(wǎng)購是當(dāng)前民眾購物的新方式,某公司為改進(jìn)營銷方式,隨機(jī)調(diào)查了100名市民,統(tǒng)計其周平均網(wǎng)購的次數(shù),并整理得到如下的頻數(shù)分布直方圖.這100名市民中,年齡不超過40歲的有65人將所抽樣本中周平均網(wǎng)購次數(shù)不小于4次的市民稱為網(wǎng)購迷,且已知其中有5名市民的年齡超過40歲.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關(guān)?
網(wǎng)購迷 | 非網(wǎng)購迷 | 合計 | |
年齡不超過40歲 | |||
年齡超過40歲 | |||
合計 |
(2)若從網(wǎng)購迷中任意選取2名,求其中年齡丑啊過40歲的市民人數(shù)ξ的分布列與期望. 附: ;
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinx,﹣1), =(cosx, ),函數(shù)f(x)=( + ) .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個單位得到函數(shù)g(x)的圖象,在△ABC中,角A,B,C所對邊分別a,b,c,若a=3,g( )= ,sinB=cosA,求b的值.
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