Question

(本小題滿分14分)

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)共由三部分組成：①原材料費(fèi)每件50元；②職工工資支出元；③電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為元.其中是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)。

（1）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；

（2）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量不超過170件且能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為（元），且，試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高？并求出最高總利潤。（總利潤=總銷售額-總的成本）

 

Answer 1

【答案】

（1），，每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)為220元。

（2）生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)，總利潤最高，且最高利潤為元。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用。函數(shù)數(shù)學(xué)模型的理解和解決問題的能力的培養(yǎng)。

（1）因?yàn)?/i>每件產(chǎn)品的成本費(fèi)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)，然后利用均值不等式的思想求解最值。

（2）利潤等于收入減去成本，那么設(shè)總利潤元，則

然后借助于導(dǎo)數(shù)的思想得到最值。

（1），……………3分

由基本不等式得： ……………………………………………5分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以，，每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)為220元。…………………6分

（2）設(shè)總利潤元，則

 

 ……………………………………9分

所以

=    ………………………11分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在[1,100]上是增函數(shù)，在[100,170]上是減函數(shù)， ………………………………12分

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，

所以生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)，總利潤最高，且最高利潤為元�！�……………………14分