如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點為A,離心率為,若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且·=0.

(1)求橢圓C的方程.

(2)求證:直線l過定點,并求出該定點N的坐標.

 

(1) +y2=1 (2)見解析

【解析】(1)依題意有⇒

故橢圓C的方程為:+y2=1.

(2)由·=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標軸不垂直,由A(0,1)可設直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k≠0).

將y=kx+1代入橢圓C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,

解得x=0或x=-,

因此P的坐標為(-,-+1),

即(-,),

將上式中的k換成-,得Q(,).

直線l的方程為y=(x-)+,化簡得直線l的方程為y=x-,

因此直線l過定點N(0,-).

 

練習冊系列答案
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(A)x2+y2-2x+4y=0 (B)x2+y2+2x+4y=0

(C)x2+y2+2x-4y=0 (D)x2+y2-2x-4y=0

 

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(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3

 

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(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-1

 

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