Question

已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有極大值32，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對(duì)于x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

32

9

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)作為工具解決函數(shù)的極值問(wèn)題，注意方程思想的運(yùn)用；
（Ⅱ）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解決該題的關(guān)鍵．利用導(dǎo)數(shù)作為工具求出函數(shù)在給出區(qū)間上的最值，再列出不等式進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意f（x）=ax³-4ax²+4ax，故f'（x）=3ax²-8ax+4a=a（3x-2）（x-2），
令f'（x）=0解得x=2或x=

2

3

，
∵f（x）有極大值32，
而f（2）=0
∴f(

2

3

)=32，代入原函數(shù)解出a=27．
（Ⅱ）f'（x）=a（3x-2）（x-2），由f′（x）=0得出x=2或x=

2

3

．列表如下：
當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)max=f(

2

3

)=

32

27

a＜

32

9

?a＜3，∴0＜a＜3
當(dāng)a＜0時(shí)，
∴f(x)max=-32a＜

32

9

?a＞-

1

9

，∴-

1

9

 ＜a＜0
綜上a∈(-

1

9

，0)∪(0，3)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)作為工具解決函數(shù)的問(wèn)題，注意函數(shù)的極值與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想．通過(guò)解不等式求出字母取值范圍的化歸思想．