Question

是否存在一個(gè)三角形同時(shí)具有以下性質(zhì)：
（1）三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)
（2）最大角是最小角的2倍．

Answer 1

分析：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，求得n=5，從而得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然n-1，n，n+1，三個(gè)角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得

n-1

sinα

= 

n+1

sin2α

，∴cosα=

n+1

2(n-1)

．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化簡(jiǎn)可得n²-5n=0，∴n=5． 此時(shí)，三角形的三邊分別為：4，5，6，可以檢驗(yàn)最大角是最小角的2倍．
綜上，存在一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，求得n²-5n=0，是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．