19、定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足對任意x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．
（1）求f（0）的值，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x-x2+2）+f（2x）+2＜0．
分析：（1）先對x、y進行賦值，令x=y=0，求出f（0）的值，然后令y=-x得到f（-x）與f（x）的關(guān)系即可判定奇偶性；
（2）先求出f（0）的值，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，判定出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后利用奇偶性進行化簡，得到自變量的大小關(guān)系，解之即可．
解答：解：（1）令x=y=0，則題意可得f（0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0（3分）
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）∵f（0）=0，故對任意x∈R有f（-x）=-f（x）成立．
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．（6分）
（2）由函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)且f（0）=0，f（1）=1，
可知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
∴原不等式等價于f（3x-x2+2）＜-2．（8分）
∵f（1）=1，f（2）=f（1）+f（1）=2．
又∵函數(shù)為奇函數(shù)∴f（-2）=-2．
∴f（3x-x2+2）＜f（-2）．（10分）
∴3x-x2+2＜-2．?
即x2-3x-4＞0
∴原不等式的解集為{x|x＞4或x＜-1}（12分）
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，則（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值為
1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足f（-3）=2，，且對任意的實數(shù)a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f(
2-xx
)＜2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f(2)=
32
，且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通項公式an的表達式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
4
3
Tn的大小，并加以證明；
③當(dāng)a＞1時，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數(shù)n恒成立，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州三模）已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意的正整數(shù)n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關(guān)系，并給出證明．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案