Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）在各項均不為零的數列{c_n}中，若ci•ci+1＜0，則稱ci，ci+1為這個數列{c_n}一對變號項．令（n為正整數），求數列{c_n}的變號項的對數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素可得△=a²-4a=0，所以a=0或a=4，又在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，所以a=4．
（2）由當n≥2時，an=Sn-Sn-1可得an=2n-5，但是必須檢驗當n=1時，a₁=S₁=1也符合上式，∴an=．
（3）方法一是通過數列{cn}的單調性解答即cn+1-cn=的單調性．方法二解不等式找出數列{c_n}的變號項的對數．
解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²-4a=0Þa=0或a=4，
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上：a=4，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）可知：Sn=n²-4n+4．當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n²-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴an=
（3）法一：由題設cn=，
∵當n≥2時，cn+1-cn=-=，
∴當n≥3時，數列{cn}遞增，∵c3=-3＜0，又由cn=1-≥0，得n≥5，
可知c4•c5＜0，即n≥3時，有且只有一對變號項，
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此處有2對變號項．
綜上可得：數列{cn}的變號項有3對．
法二：當i≥2時，ci=1-=，
∵ci•ci+1＜0，∴•＜0，
∴＜i＜或＜i＜，∵i≥2，i∈N*，∴i=2或4，
即c2•c3＜0，c4•c5＜0，此處有2對變號項，
又∵c1=-3，c2=5，即c1•c2＜0，此處有一對變號項，
綜上可得：數列{cn}的共有3對變號項．
點評：.本題考查數列的性質與函數的性質相結合的知識點，一般是單調性，最值等性質的結合，數列與函數相結合問題是高考考查的重點內容．