Question

【題目】已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù))

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求不等式的解集；

（3）若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)、滿足，求證：.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）；（III）證明見解析.

【解析】

試題（I）首先確定函數(shù)的定義域，再利用求導(dǎo)法則對(duì)其求導(dǎo)并結(jié)合對(duì)的討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）根據(jù)函數(shù)的定義域先確定自變量的取值范圍，再通過構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得出所求不等式的解集；（III）先對(duì)進(jìn)行討論并結(jié)合（I）的結(jié)論及題目條件即可證得所需結(jié)論.

試題解析：（I）的定義域?yàn)?/span>，

（1）當(dāng)時(shí)，恒有，故在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)時(shí)，由得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

綜上（1）（2）可知：當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（II）的定義域?yàn)?/span>，所以，且，而，.

設(shè)

，

，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

故的解集為.

（III）由（I）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，若，

則不合題意；

故，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)滿足，則必有一個(gè)在上，另一個(gè)在，不妨設(shè)，

則.

又由（II）知時(shí)，，即，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，

即