Question

如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F，且于拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程
（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂線平分m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程可求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p，則焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，和M的坐標(biāo)，把A，B代入拋物線方程兩式相減求得直線AB的斜率，求得y_otana=4．同時(shí)根據(jù)AB，MP共線根據(jù)斜率相等求得得y_otana=4，進(jìn)而可推斷出AB中垂線方程的斜率，表示出其直線方程，令y=0表示出P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出|FP|，然后利用余弦的二倍角公式化簡整理，把tana=

4

y0

，y_o²=4x_o-8代入整理求得結(jié)果為8，為定值，進(jìn)而原式得證．

解答：解：（Ⅰ）拋物線方程中p=4，
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)E（x_o，y_o），焦點(diǎn)F（2，0）．
則有x₁+x₂=2x_o，y₁+y₂=2y_o，又A，B在曲線上有y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
兩式相減得AB斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

y0

=tana，得y_otana=4．
又AB，EP垂直，易得AB中垂線方程y=-

1

tanα

（x-x_o）+y_o，令y=0，
得P點(diǎn)橫坐標(biāo)x_P=x_o+y_otana=x_o+4．
于是得|FP|=x_P-x_F=x_o+2．
由于1-cos2a=1-（cos²a-sin²a）=1-

cos2a-sin2a

cos2a+sin2a

=1-（1-

tan2a

1+tan2a

），
再將tana=

4

y0

，y_o²=4x_o-8代入整理得1-cos2a=

8

x0+2

，
從而有|PF|-|PF|cos2a=|PF|（1-cos2a）=（xo+2）

8

x0+2

=8．
原式得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力．