Question

【題目】已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，點在雙曲線上；拋物線（）的焦點F與雙曲線的右焦點重合.

（1）求雙曲線和拋物線的標準方程；

（2）過焦點F作一條直線l交拋物線于A，B兩點，當直線l的斜率為時，求線段的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由漸近線方程得，再由點在雙曲線上，代入后得的一個方程，聯(lián)立后可解得，得雙曲線方程，求出雙曲線的右焦點坐標，即為拋物線的焦點坐標，從而可得拋物線標準方程；

（2）由直線方程與拋物線方程聯(lián)立可解得交點坐標，然后由焦點弦長公式求得弦長．

解：（1）因為雙曲線（，）的漸近線方程為，

所以①，又點在雙曲線上，所以②

由①②解得，，

故雙曲線標準方程為；

設(shè)雙曲線的焦距為，因為，得，所以拋物線焦點為，

即，所以拋物線的標準方程為.

（2）設(shè)直線交拋物線于，，

聯(lián)立得即，

故.

由拋物線定義知，，

所以