Question

已知函數(shù)f（x）=為奇函數(shù)，滿足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤ 的解集是[-2，-1]∪[2，4]．
（1）求a，b，c的值；
（2）對一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=為奇函數(shù)∴=-，解得b=0．…（2分）
∵式0≤f（x）≤ 的解集中包含2和-2，
∴
即得f（2）=0=，所以c=-4 …（4分）
∵f（1）＜f（3），f（1）=-，f（3）=-，
∴-＜，所以a＞0…（5分）
下證：當a＞0時，在（0，+∞）上f（x）=是增函數(shù)．
在（0，+∞）內(nèi)任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么f（x₁）-f（x₂）=--+=（x₁-x₂）（1+）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴當a＞0時，在（0，+∞）上，f（x）=是增函數(shù)．
所以，f（2）=0，f（4）==，解得a=2．
綜上所述：a=2，b=0，c=-4，f（x）=…（7分）
（2）∵f（x）=為奇函數(shù)∴f（x）=在（-∞，0）上也是增函數(shù)．…（8分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，∴f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）= …（10分）
而m-≥ …（12分）
所以，m≥3時，不等式f（-2+sinθ）≤m-對一切θ∈R成立．…（13分）
分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x）可求b，由0≤f（x）≤ 的解集中包含2和-2，可得，f（2）≥0，
f（-2）=-f（2）≥0即得f（2）=0，可求c，由f（1）＜f（3），可得f（1）=-，f（3）=-，即-＜，從而可求a的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在a＞0時，在（0，+∞）上f（x）=是增函數(shù)．由f（4）==可求a
（2）由f（x）=為奇函數(shù)可得f（x）=在（-∞，0）上也是增函數(shù)，結(jié)合-3≤-2+sinθ≤-1，可得f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）=，從而可得m的取值范圍
點評：本題綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應用：奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)對稱區(qū)間上的 單調(diào)性，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化的思想的體現(xiàn)．