【題目】某校設(shè)計了一個實驗考察方案:考生從6道備選題中隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規(guī)定:至少正確完成其中的2道題便可通過.己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成,2道題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是 ,且每題正確完成與否互不影響.
(I) 求甲考生通過的概率;
(II) 求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,和甲、乙兩考生的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力.

【答案】解:(Ⅰ)∵考生從6道備選題中隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作, 規(guī)定:至少正確完成其中的2道題便可通過.
己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成,2道題不能完成,
∴甲考生通過的概率P=1﹣ =
(Ⅱ)由題意知甲考生正確完成題數(shù)X的可能取值為1,2,3,
P(X=1)= =
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = ,
∴X的可能取值為:

X

1

2

3

P

EX= +2× +3× =
乙兩考生正確完成題數(shù)Y的可能取值為0,1,2,3,
P(Y=0)= 3= ,
P(Y=1)= =
P(Y=2)= = ,
P(Y=3)= = ,
∴Y的分布列是:

Y

0

1

2

3

P

EY= =2.
(Ⅲ)DX=(1﹣2)2× +(2﹣2)2× +(3﹣2)2× = ,
∵Y∽B(3, ),∴DY=3× =
∴DX<DY,
∵P(X≥2)= ,P(Y≥2)= ≈0.74
∴P(X≥2)>P(Y≥2)
①從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查,兩人水平相當(dāng);從做對題數(shù)的方差考查,甲較穩(wěn)定;
②從至少完成2題的概率考查,甲獲得通過的可能性大,
因此,可以判斷甲的實驗操作能力強
【解析】(Ⅰ)考生甲要通過實驗考查,必須正確完成至少2道,利用對立事件概率計算公式能求出甲考生通過的概率.(Ⅱ)確定考生甲正確完成實驗操作的題目個數(shù)的取值,求出相應(yīng)的概率,可得考生甲正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;乙兩考生正確完成題數(shù)Y的可能取值為0,1,2,3,且Y~B(3, ),由此能求出考生乙正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.(Ⅲ)設(shè)考生乙正確完成實驗操作的題目個數(shù)為η,求出相應(yīng)的期望與方差,比較,即可得出結(jié)論.

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