【題目】在極坐標(biāo)系中,方程C:表示的曲線被稱作“四葉玫瑰線”(如圖)
(1)求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與四葉玫瑰線交點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo);
(2)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合,x軸正半軸與極軸重合.求直線l:上的點(diǎn)M與四葉攻瑰線上的點(diǎn)N的距離的最小值.
【答案】(1)極坐標(biāo)為,直角坐標(biāo)為;(2)
【解析】
(1)先求出以極點(diǎn)為圓心的單位圓的極坐標(biāo)方程,與玫瑰線方程聯(lián)立即可求出交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)首先可得四葉玫瑰線關(guān)于直線對(duì)稱,將直線方程轉(zhuǎn)化為普通方程,直線與直線垂直,且玫瑰線在直線的同側(cè),即可得到距離的最小值;
解:(1)因?yàn)?/span>
所以,
取,得
從而得到單位圓與四葉玫瑰線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,
化成直角坐標(biāo)就是
(2)直觀發(fā)現(xiàn),四葉玫瑰線關(guān)于直線對(duì)稱.
事實(shí)上,將極坐標(biāo)方程化作直角坐標(biāo)方程得,
將互換后方程不變,說(shuō)明四葉玫瑰線關(guān)于直線對(duì)稱;
將換作,換作后方程不變,說(shuō)明四葉玫瑰線關(guān)于直線對(duì)稱;
直線的普通方程是,
直線與直線垂直,且玫瑰線在直線的同側(cè),
故的最小值等于點(diǎn)到直線的距離:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折,使二面角的大小為,翻折后的中點(diǎn)為.
(Ⅰ)證明平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底, 是的中點(diǎn)。
(1)證明:直線平面;
(2)點(diǎn)在棱上,且直線與底面所成角為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)前后,一場(chǎng)突如其來(lái)的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開來(lái)(已有證據(jù)表明2019年10月、11月國(guó)外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒),人傳人,傳播快,傳播廣,病亡率高,對(duì)人類生命形成巨大危害.在中華人民共和國(guó),在中共中央、國(guó)務(wù)院強(qiáng)有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下,全國(guó)人民萬(wàn)眾一心抗擊、防控新冠肺炎,疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制(累計(jì)病亡人數(shù)3869人).然而,國(guó)外因國(guó)家體制、思想觀念與中國(guó)的不同,防控不力,新冠肺炎疫情越來(lái)越嚴(yán)重.據(jù)美國(guó)約翰斯·霍普金斯大學(xué)每日下午6時(shí)公布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),選取5月6日至5月10日的美國(guó)的新冠肺炎病亡人數(shù)如下表(其中t表示時(shí)間變量,日期“5月6日”、“5月7日”對(duì)應(yīng)于“t=6"、“t=7",依次下去),由下表求得累計(jì)病亡人數(shù)與時(shí)間的相關(guān)系數(shù)r=0.98.
(1)在5月6日~10日,美國(guó)新冠肺炎病亡人數(shù)與時(shí)間(日期)是否呈現(xiàn)線性相關(guān)性?
(2)選擇對(duì)累計(jì)病亡人數(shù)四舍五入后個(gè)位、十位均為0的近似數(shù),求每日累計(jì)病亡人數(shù)y隨時(shí)間t變化的線性回歸方程;
(3)請(qǐng)估計(jì)美國(guó)5月11日新冠肺炎病亡累計(jì)人數(shù),請(qǐng)初步預(yù)測(cè)病亡人數(shù)達(dá)到9萬(wàn)的日期.
附:回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號(hào)電視機(jī)在10個(gè)賣場(chǎng)的銷售量(單位:臺(tái)),并根據(jù)這10個(gè)賣場(chǎng)的銷售情況,得到如圖所示的莖葉圖.
為了鼓勵(lì)賣場(chǎng),在同型號(hào)電視機(jī)的銷售中,該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場(chǎng)命名為該型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”.
(1)當(dāng)時(shí),記甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”數(shù)量為,乙型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”數(shù)量為,比較的大小關(guān)系;
(2)在這10個(gè)賣場(chǎng)中,隨機(jī)選取2個(gè)賣場(chǎng),記為其中甲型號(hào)電視機(jī)的“星級(jí)賣場(chǎng)”的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若,記乙型號(hào)電視機(jī)銷售量的方差為,根據(jù)莖葉圖推斷為何值時(shí),達(dá)到最小值.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合.由集合P中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示,中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論:
①“水滴”圖形與y軸相交,最高點(diǎn)記為A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為;
②在集合P中任取一點(diǎn)M,則M到原點(diǎn)的距離的最大值為3;
③陰影部分與y軸相交,最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記為C,D,則;
④白色“水滴”圖形的面積是.
其中正確的有______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)女排,曾經(jīng)十度成為世界冠軍,鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為:扎扎實(shí)實(shí),勤學(xué)苦練,無(wú)所畏懼,頑強(qiáng)拼搏,同甘共苦,團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗,刻苦鉆研,勇攀高峰.女排精神對(duì)各行各業(yè)的勞動(dòng)者起到了激勵(lì)、感召和促進(jìn)作用,給予全國(guó)人民巨大的鼓舞.
(1)看過(guò)中國(guó)女排的紀(jì)錄片后,某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神,塑造健康體魄”的年度主題活動(dòng),一段時(shí)間后,學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高,將該大學(xué)近5個(gè)月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下表格:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
體重超重的人數(shù)y | 640 | 540 | 420 | 300 | 200 |
若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x(月份變量x依次為1,2,3,4,5…)具有線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)預(yù)測(cè)從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下?
(2)在某次排球訓(xùn)練課上,球恰由A隊(duì)員控制,此后排球僅在A隊(duì)員、B隊(duì)員和C隊(duì)員三人中傳遞,已知每當(dāng)球由A隊(duì)員控制時(shí),傳給B隊(duì)員的概率為,傳給C隊(duì)員的概率為;每當(dāng)球由B隊(duì)員控制時(shí),傳給A隊(duì)員的概率為,傳給C隊(duì)員的概率為;每當(dāng)球由C隊(duì)員控制時(shí),傳給A隊(duì)員的概率為,傳給B隊(duì)員的概率為.記,,為經(jīng)過(guò)n次傳球后球分別恰由A隊(duì)員、B隊(duì)員、C隊(duì)員控制的概率.
(i)若,B隊(duì)員控制球的次數(shù)為X,求;
(ii)若,,,,,證明:為等比數(shù)列,并判斷經(jīng)過(guò)200次傳球后A隊(duì)員控制球的概率與的大小.
附1:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:;.
附2:參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為,證明:.
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