已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：
（1）異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此幾何體的體積V的大�。�
（1）取EC的中點是F，連接BF，
則BF∥DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．
在△BAF中，AB=4
2
，BF=AF=2
5
，
cos∠ABF=
10
5
，．
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為
10
5
．（3分）
（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=
8
5
5

∴tan∠AGC=
5
2
，．∴sin∠AGC=
5
3
．
∴二面角A-ED-B的正弦值為
5
3
．（6分）
（3）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=2，
∴S梯形BCED=
1
2
×（4+2）×4=12
∴V=
1
3
•S梯形BCED•AC=
1
3
×12×4=16．
即該幾何體的體積V為16．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側面所成二面角的余弦值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=
3
，AB=
3
，E、F分別為AC、AD上的動點．
（1）若
AE
EC
=
AF
FD
，求證：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若
AE
EC
=1，
AF
FD
=2，求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，直線PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，且點K是線段MN上的動點．
（Ⅰ）證明：直線QK∥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB=BC=8，且二面角Q-AK-M的平面角的余弦值為
3
9
，試求MK的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，設E為PC中點，點F在線段PD上且PF=2FD．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）設二面角A-CF-D的大小為θ，若|cosθ|=
42
14
，求PA的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖：正△ABC與Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求二面角D-AB-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知A、B、C三點在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO-ABC為正三棱錐，若A、B兩點的球面距離為π，則正三棱錐的側面與底面所成角的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知軸對稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對稱軸，AD⊥CD，AD=AB=1，CD=BC=
3
，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如圖2）．
（1）證明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是________．

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