Question

對于定義在區(qū)間[m，n]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）與g（x）在[m，n]上是“友好”的，否則稱“不友好”的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）與g(x)=loga

1

x-a

（a＞0，a≠1），給定區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否“友好”．

Answer 1

分析：（1）欲使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上有意義，即使對數(shù)的真數(shù)大于0，建立關系式，解之即可；
（2）假設存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的，建立關系式化簡可得-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1，然后研究函數(shù)g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在區(qū)間[a+2，a+3]上的單調(diào)性，建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上有意義，
必須滿足

a+2-3a＞0 a+2-a＞0 0＜a，a≠1

⇒0＜a＜1
（2）假設存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的，
則|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1
即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*）
因為a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右側，
所以函數(shù)g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在區(qū)間[a+2，a+3]上為減函數(shù)，從而

[g(x)]max=g(a+2)=loga(4-4a) [g(x)]min=g(a+3)=loga(9-6a)

于是不等式（*）成立的充要條件是

loga(4-4a)≤1 loga(9-6a)≥-1 0＜a＜1

⇒0＜a≤

9- 57

12

因此，當0＜a≤

9- 57

12

時，函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的；當1＞a＞

9- 57

12

時，函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是不“友好”的．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及新定義的運用，屬于中檔題．