Question

已知圓心在直線3x-y=0上的圓C在x軸的上方與x軸相切，且半徑為3．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y+1=k（x+2）與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，b），又半徑r=3，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓心C在直線3x-y=0上，把設(shè)出的圓心C坐標(biāo)代入直線方程可得a與b的關(guān)系式，又根據(jù)圓與x軸相切，可得圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即|b|等于圓的半徑3，又圓C在x軸上方可得b大于0，從而求出b的值，把b的值代入a與b的關(guān)系式中求出a的值，從而確定出圓C的方程；
（Ⅱ）由第一問求出的圓C的方程，找出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)直線l與圓C相切，可得圓心C到直線l的距離等于圓的半徑，故利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，令d等于半徑3列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可確定出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=9，
由圓心在直線3x-y=0上，可得3a-b=0，
又圓與x軸相切，可得|b|=3，
由圓C在x軸上方，可得b＞0，所以b=3，
把b=3代入3a-b=0，解得a=1，
則圓C的方程為（x-1）²+（y-3）²=9；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑r=3，
設(shè)圓心到直線y+1=k（x+2）的距離d，
∵直線l與圓C相切，
∴d=

|k-3+2k-1|

1+2k2

=3，
∴k=

7

24

，
∴直線l的方程為y+1=

7

24

（x+2），即7x-24y-10=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，確定出圓心坐標(biāo)和圓的半徑是寫出圓標(biāo)準(zhǔn)方程的前提，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑是解第二問的關(guān)鍵．