Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1 ， F2 ， 設(shè)點(diǎn)F1 ， F2與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為4的直角三角形．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，B，P為橢圓C上三點(diǎn)，滿(mǎn)足 = + ，記線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E，若直線l：y=x+1與軌跡E交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)F1，F(xiàn)2與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為4的直角三角形．

∴2c=4，b=2，

故c=2，a=2 ，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）

解：設(shè)A（2 cosα，2sinα），B（2 cosβ，2sinβ），

∵ = + ，

∴ =（ ， ），

∵點(diǎn)P在橢圓上，

∴（3cosα+4cosβ）2+（3sinα+4sinβ）2=25，

∴cosαcosβ+sinαsinβ=0，

∴cos（α﹣β）=0，

∴a﹣β= ，

∴B（2 sinα，﹣2cosα），

∴AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ cosα+ sinα，sinα﹣cosα），

設(shè)Q的點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

∴x= cosα+ sinα，y=sinα﹣cosα，

∴ =cos2α+2cosαsinα+sin2α=1+2cosαsinα，y2=cos2α﹣2cosαsinα+sin2α=1﹣2cosαsinα

∴ +y2=2，

即線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E的方程為 ，

設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），

由 ，消y，整理得5x2+8x﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴|MN|= |x1﹣x2|= = = ．

【解析】（1）由題意可得c=2，即可求出b=2，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）設(shè)A（2 cosα，2sinα），B（2 cosβ，2sinβ），根據(jù)題意和點(diǎn)P在橢圓上，化簡(jiǎn)整理可得a﹣β= ，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消α，線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E的方程為 ，再設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1 ， y1），（x2 ， y2），根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出．
【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．