Question

已知關(guān)于t的方程t²-2t+a=0（a∈R）有兩個(gè)虛根t₁、t₂，且滿足|t1-t2|=2

3

（1）求方程的兩個(gè)根以及實(shí)數(shù)a的值．
（2）若對(duì)于任意x∈R，不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對(duì)于任意的k∈[2，3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：在解答時(shí)，對(duì)（1）應(yīng)先將兩個(gè)虛根設(shè)出，然后分別利用韋達(dá)定理和滿足的條件即可求的實(shí)部和虛部的值進(jìn)而獲得方程的兩虛根，再由韋達(dá)定理即可求的a 的值；對(duì)（2）首先利用（1）中的結(jié)論對(duì)不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對(duì)于任意的k∈[2，3]恒成立，進(jìn)行化簡(jiǎn)．從而獲得不等式-k²+2mk-2k≤1對(duì)任意k∈[2，3]恒成立，然后通過游離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為求y=k+

1

k

在k∈[2，3]上的最小值即可獲得m的關(guān)系式，從而問題即可獲得解答．

解答：解：（1）設(shè)t₁=x+yi（x，y∈R），則t₂=x-yi；△=4-4a＜0
∴a＞1；t₁+t₂=2x=2∴x=1；|t1-t2|=2|y|=2

3

，∴y=

3

或-

3

；
所以兩根分別為1+

3

i，1-

3

i，
∴a=(1+

3

i)(1-

3

i)=4，
即方程的兩個(gè)根為：1+

3

i，1-

3

i，實(shí)數(shù)a的值為4．
（2）log₄（x²+4）≥log₄4=1，所以不等式-k²+2mk-2k≤1對(duì)任意k∈[2，3]恒成立．
（2m-2）k≤k²+1?2m-2≤k+

1

k

，k+

1

k

≥2當(dāng)且僅當(dāng)k=1的時(shí)候等號(hào)成立，
又∵y=k+

1

k

在k∈[2，3]上單調(diào)遞增，
所以k+

1

k

≥

5

2

所以2m-2≤

5

2

?m≤

9

4

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：(-∞，

9

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的最值問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了方程虛根的求法，恒成立問題的解答規(guī)律以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．