已知x，y，z∈R，且x + y + z =1，求證：．

 

答案：
解析：

分析  條件與結(jié)論有次數(shù)上的差異，升次或降次可拉近兩者的距離．條件與結(jié)論均含三個(gè)字母，利用等式x + y + z =1 可實(shí)施等量代換，以取得消元的效果．

證法一：∵ x + y + z =1 ．

∴ (x + y + z)2 =1．

．

證法二：由x + y + z =1  得 z = 1－x－y，因此

．

評(píng)述 這是一個(gè)條件不等式的證明問(wèn)題，抓住條件與結(jié)論的特征和差異，就能設(shè)計(jì)出有效的變形策略．由于結(jié)論中不等式的左邊是二次齊次式．實(shí)施配方是很自然的．

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

11、已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，則x+2y+2z的最大值為
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x2+y2+z2+3≥2（x+y+z）；（2）
x+y
2
≥
xy
；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x2+y2+z2≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選做題]在下面A，B，C，D四個(gè)小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE與AC交于點(diǎn)F，判斷BE是否平分∠ABC，并說(shuō)明理由．
B．選修4-2：短陣與變換
已知矩陣M=
1
2
0
02
，矩陣M對(duì)應(yīng)的變換把曲線y=sinx變?yōu)榍�C，求C的方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sin(θ+
π
4
)，求曲線C的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•東城區(qū)一模）已知x，y，z∈R，若-1，x，y，z，-3成等差數(shù)列，則x+y+z的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=
1
2
，證明：x，y，z∈[0，
2
3
]．

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