Question

已知三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：

（1）聯(lián)結(jié)，求異面直線與所成角的大��；

（2）聯(lián)結(jié)、，求四棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）要求異面直線所成的角，必須按照定義作出這個(gè)角，即把異面直線平移為相交直線，求相交直線所夾的銳角或直角，當(dāng)然我們一般是過異面直線中的某一條上一點(diǎn)作另一條直線的平行線，同時(shí)要借助已知圖形中的平行關(guān)系尋找平行線，以方便解題．本題是三棱柱，顯然有∥，因此只要在中求即可；（2）求四棱錐的體積，一般用公式，即底面面積乘以高再除以3，但本題中由于四棱錐的高不容易找，而這個(gè)棱錐在三棱柱中，因此我們可借助三棱柱來求棱錐的體積，利用棱錐體積的公式，可知三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一，因此所求四棱錐的體積正好是三棱柱的體積的三分之二，我們求出三棱柱的即可．

試題解析：(1) 聯(lián)結(jié)，并延長與交于點(diǎn)，則是邊上的中線．

點(diǎn)是正的中心，且平面，

∴且．∴．

∴．

又，

∴異面直線與所成的角為．

∴即四邊形為正方形．

∴異面直線與所成角的大小為．

(2)∵三棱柱的所有棱長都為２，

∴可求算得．

∴，

∴．

考點(diǎn)：（1）異面直線所成的角；（2）切割法與棱錐的體積．