已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且過(guò)雙曲線的頂點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)命題:“設(shè)是雙曲線上關(guān)于它的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn), 為該雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),若直線、均存在斜率,則它們的斜率之積為定值”.試類(lèi)比上述命題,寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于橢圓的類(lèi)似的正確命題,并加以證明和求出此定值;

(3)試推廣(Ⅱ)中的命題,寫(xiě)出關(guān)于方程,不同時(shí)為負(fù)數(shù))的曲線的統(tǒng)一的一般性命題(不必證明).

 

【答案】

(1)

(2)關(guān)于橢圓的正確命題是:設(shè)是橢圓上關(guān)于它

的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn),為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn),若直線均存在斜率,

則它們的斜率之積為定值.(定值)

(3)關(guān)于方程不同時(shí)為負(fù)數(shù))的曲線的統(tǒng)一的一般性命題是:

設(shè)、是方程不同時(shí)為負(fù)數(shù))的曲線上關(guān)于它的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn),為該曲線上的動(dòng)點(diǎn),若直線、均存在斜率,則它們的斜率之積為定值.

【解析】

試題分析:(1)設(shè)橢圓的方程為,半焦距為,

,

橢圓的方程為

(2)關(guān)于橢圓的正確命題是:設(shè)、是橢圓上關(guān)于它

的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn),為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn),若直線、均存在斜率,

則它們的斜率之積為定值.

證明如下:

設(shè)點(diǎn),,,

直線的斜率分別為,

,

點(diǎn)在橢圓上,

,且,

, 即,

所以,(定值)

(3)關(guān)于方程,不同時(shí)為負(fù)數(shù))的曲線的統(tǒng)一的一般性命題是:

設(shè)是方程,不同時(shí)為負(fù)數(shù))的曲線上關(guān)于它的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn),為該曲線上的動(dòng)點(diǎn),若直線均存在斜率,則它們的斜率之積為定值.

考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng):中檔題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題,往往通過(guò)聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(2)注意將斜率用坐標(biāo)表示出來(lái),易于發(fā)現(xiàn)關(guān)系。本題得到一般性結(jié)論,對(duì)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)探究很有裨益。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí),求△POQ的面積;
(3)在線段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,
2
5
5
)
,N(-2,
5
5
)
,若圓C的圓心與橢圓的右焦點(diǎn)重合,圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長(zhǎng),已知點(diǎn)A(x,y)為圓C上的一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上點(diǎn)P(3
2
,4)
到兩焦點(diǎn)的距離之和是12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為6
3
,且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線的距離為
2
2

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),在線段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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