【題目】已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn , a1=1,且 an+1=2Sn+1,n∈N .
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令 c=log3a2n , bn= ,記數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和為Tn , 若對(duì)任意 n∈N , λ<Tn 恒成立,求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍.
【答案】解:(I)∵an+1=2Sn+1,n∈N , n≥2時(shí),an=2Sn﹣1+1,可得an+1﹣an=2an , 即an+1=3an . n=1時(shí),a2=2a1+1=3=3a1 , 滿足上式.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴an=3n﹣1 .
(II) c=log3a2n= =2n﹣1.
bn= = = ,
數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和Tn=
=
∵對(duì)任意 n∈N , λ<Tn 恒成立,
∴λ< = .
∴實(shí)數(shù) λ 的取值是
【解析】(I)an+1=2Sn+1,n∈N , n≥2時(shí),an=2Sn﹣1+1,可得an+1﹣an=2an , 即an+1=3an . n=1時(shí),a2=2a1+1=3,滿足上式.利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(II) c=log3a2n= =2n﹣1.bn= = = ,利用“裂項(xiàng)求和”及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=b(sinC+cosC).
(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A= ,D為△ABC外一點(diǎn),DB=2,DC=1,求四邊形ABDC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a6=0,S4=14.
(1)求an;
(2)將a2 , a3 , a4 , a5去掉一項(xiàng)后,剩下的三項(xiàng)按原來(lái)的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng),求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”,其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算,算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如圖,當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位,百位,萬(wàn)位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬(wàn)位用橫式表示,以此類推.例如 6613 用算籌表示就是 ,則 8335 用算籌可表示為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.命題p:“ ”,則?p是真命題
B.命題“?x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是:“?x∈R,x2+2x+3>0”
C.“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分條件
D.“a>1”是“f(x)=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上為增函數(shù)”的充要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年雙十一期間,某電子產(chǎn)品銷售商促銷某種電子產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本為2元/件,通過(guò)市場(chǎng)分析,雙十一期間該電子產(chǎn)品銷售量y(單位:千件)與銷售價(jià)格x(單位:元)之間滿足關(guān)系式:y= +2x2﹣35x+170(其中2<x<8,a為常數(shù)),且已知當(dāng)銷售價(jià)格為3元/件時(shí),該電子產(chǎn)品銷售量為89千件. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值及雙十一期間銷售該電子產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)L(x);
(Ⅱ)銷售價(jià)格x為多少時(shí),所獲得的總利潤(rùn)L(x)最大?并求出總利潤(rùn)L(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面積為 ,求a+c的值.
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