【題目】已知矩形ABCD的長AB=4,寬AD=3,將其沿對角線BD折起,得到四面體A﹣BCD,如圖所示,給出下列結(jié)論:
①四面體A﹣BCD體積的最大值為 ;
②四面體A﹣BCD外接球的表面積恒為定值;
③若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn),則恒有EF⊥AC且EF⊥BD;
④當(dāng)二面角A﹣BD﹣C為直二面角時(shí),直線AB、CD所成角的余弦值為 ;
⑤當(dāng)二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時(shí),棱AC的長為
其中正確的結(jié)論有(請寫出所有正確結(jié)論的序號).

【答案】②③④
【解析】解:①四面體ABCD體積最大值為兩個(gè)面互相垂直,四面體A﹣BCD體積的最大值為 = ,故不正確;
②三棱錐A﹣BCD外接球的半徑為 ,所以三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為4 =25π;②正確;
③若E、F分別為棱AC、BD的中點(diǎn),連接AF,CF則AF=CF,根據(jù)等腰三角形三線合一得到EF⊥AC;
連接DE,BE,容易判斷△ACD≌△ACB,得到DE=BE,所以EF⊥BD;所以③正確;
④當(dāng)二面角A﹣BD﹣C為直二面角時(shí),以C為原點(diǎn)CB,CD所在直線分別為x,y軸,則由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為 ,所以④正確.
⑤當(dāng)二面角A﹣BD﹣C的大小為60°時(shí),棱AC的長為 ,在直角三角形ABD中,AB=4,AD=3,BD=5,
作AE⊥BD,CF⊥BD,則AE=CF= ,DE=BF= ,
同理直角三角形ABC中,則EF=BD﹣DE﹣BF=
在平面ABD內(nèi),過F作FH∥AE,且FH=AE,連接AH,易得四邊形AEFH為矩形,
則AH=EF= ,AH∥EF,
FH⊥DB,又CF⊥DB,即有∠CFH為二面角C﹣BD﹣A的平面角,且為60°,
即CH=CF= ,
由BD⊥平面CFH,得到BD⊥CH,即有AH⊥CH,
則AC= = ,故⑤錯(cuò)誤;
所以答案是:②③④.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在海岸線一側(cè)處有一個(gè)美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設(shè)立了兩個(gè)報(bào)名點(diǎn),滿足中任意兩點(diǎn)間的距離為.公司擬按以下思路運(yùn)作:先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)(點(diǎn)異于兩點(diǎn)),然后乘同一艘輪游輪前往島.據(jù)統(tǒng)計(jì),每批游客處需發(fā)車2輛, 處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費(fèi)元,游輪每千米耗費(fèi)元.(其中是正常數(shù))設(shè),每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到島所需運(yùn)輸成本為元.

(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;

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【題目】設(shè)f(x)=x2+bx+c且f(0)=f(2),則(
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(2)若 ,求x、y值.

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【題目】我市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識,面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)分別求第3,4,5組的頻率.

(2)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動,應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?

(3)在(2)的條件下,我市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.

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【題目】對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足下列條件:
①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;
②存在區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=﹣x3符合條件②的區(qū)間[a,b]
(2)判斷函數(shù)f(x)= 是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)若y=k+ 是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)k的范圍.

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B.f(x)=log2x
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(2)設(shè)過點(diǎn)P的一條直線交橢圓于B,C兩點(diǎn),且 =m ,直線OA,OB的斜率之積﹣ ,求實(shí)數(shù)m的值;
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