Question

已知z為虛數(shù)，且|z|=

5

，若z2-2

.

z

為實(shí)數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若z的虛部為正數(shù)，且ω=z+4sinθ•i（i為虛數(shù)單位，θ∈R），求ω的模的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i為虛數(shù)單位），根據(jù)|z|=

5

，z2-2

.

z

為實(shí)數(shù)建立方程組，解之即可求出復(fù)數(shù)z；
（2）若z的虛部為正數(shù)，則由（1）知，z=-1+2i，然后根據(jù)模的定義建立ω的模函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i為虛數(shù)單位）．
由|z|=5得 a²+b²=5（*）…（1分）
又因?yàn)?span id="d8v4u9x" class="MathJye">z2-2

.

z

為實(shí)數(shù)，即（a+bi）²-2（a-bi）為實(shí)數(shù)，即a²-b²-2a+2b（a+1）i為實(shí)數(shù)，
所以b（a+1）=0，…（2分）
又 b≠0，所以a=-1．將a=-1代入（*）解得   b=±2．…（4分）
于是  z=-1+2i或z=-1-2i．…（5分）
（2）若z的虛部為正數(shù)，則由（1）知，z=-1+2i，所以ω=-1+2i+4sinθ•i，
即ω=-1+（2+4sinθ）•i，…（6分）
所以|ω|=

(-1)2+(2+4sinθ)2

，即|ω|=

16(sinθ+ 1 2 )2+1

，
設(shè)t=sinθ（-1≤t≤1），則|ω|=

16(t+ 1 2 )2+1

，
它在t∈[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞減，在t∈[-

1

2

，1]上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)t=-

1

2

，即sinθ=-

1

2

，即θ=kπ-(-1)k•

π

6

  (k∈Z)時(shí)，|ω|_min=1；…（8分）
又當(dāng)t=-1，即sinθ=-1，即θ=2kπ-

π

2

  (k∈Z)時(shí)，|ω|=

5

，當(dāng)t=1，即sinθ=1，即θ=2kπ+

π

2

  (k∈Z)時(shí)，|ω|=

37

，所以|ω|max=

37

．
因此   所求ω的模的取值范圍為  [ 1， 

37

 ]．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考了復(fù)數(shù)的模以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求閉區(qū)間上的值域，同時(shí)考查了換元法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．