Question

【題目】已知是橢圓C： 上一點(diǎn)，點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A，B是橢圓C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，直線PA與直線交于點(diǎn)M，

是否存在點(diǎn)A，使得？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點(diǎn)A（， ），使得.

【解析】試題分析：（Ⅰ）橢圓過(guò)點(diǎn)P（0,1）可得b=1，由點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離和為，可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)，依題意得：直線的斜率存在，

則直線的方程為： ，又等價(jià)于且點(diǎn)A在y軸的右側(cè)，

從而， 從而可得結(jié)果.

.

試題解析：

（Ⅰ）由橢圓C： 過(guò)點(diǎn)P（0,1）可得b=1，

又點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離和為，可得，

所以橢圓C的方程.

（Ⅱ）設(shè)A（m,n），依題意得：直線PA的斜率存在，

則直線PA的方程為： ，

令x=4， ，即M，

又等價(jià)于且點(diǎn)A在y軸的右側(cè)，

從而，

因?yàn)辄c(diǎn)A在y軸的右側(cè)，

所以 ， 解得 ,

由點(diǎn)A在橢圓上，解得： ,

于是存在點(diǎn)A（， ），使得.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及解析幾何中的存在性問(wèn)題，屬于難題.解決存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.