Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當(dāng)時，求證：；

（3）設(shè)函數(shù)，其中為實常數(shù)，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義可知，解得切點；

（2）將所證明不等式轉(zhuǎn)化為證明恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明；

（3）等價于，等價于，且，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的極小值0，極大值，討論當(dāng)，，，時，結(jié)合零點存在性定理確定零點的個數(shù).

（1）．所以過點的切線方程為，所以，

解得或．

（2）證明：即證，因為，所以即證，

設(shè)，則．

令，解得．

		4
	-	0	+
	減	極小	增

所以 當(dāng)時，取得最小值．

所以當(dāng)時，．

（3）解：等價于，等價于，且．

令，則．

令，得或，

		1
	-	0	+	0	-
	減	極小0	增	極大	減

（Ⅰ）當(dāng)時，，所以無零點，即定義域內(nèi)無零點

（Ⅱ）當(dāng)即時，若，因為，

，所以在只有一個零點，

而當(dāng)時，，所以只有一個零點；

（Ⅲ）當(dāng)即時，由（Ⅱ）知在只有一個零點，且當(dāng)時，，所以恰好有兩個零點；

（Ⅳ）當(dāng)即時，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在只有一個零點，在只有一個零點，在時，因為，

只要比較與的大小，即只要比較與的大小，

令，

因為，因為，所以，

所以，

即，所以，即在也只有一解，所以有三個零點；

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為0； 當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為1；當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為2；當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為3．