已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；
（Ⅱ）求證:當(dāng)時(shí)，有；
（Ⅲ）設(shè),當(dāng)時(shí),不等式恒成立，求的最大值.

（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）整數(shù)的最大值是.

解析試題分析：(Ⅰ)通過求的導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，從而確定在時(shí)，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)，，從而有．（Ⅲ）先由當(dāng)時(shí),不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,設(shè)，通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性從而得出，整數(shù)的最大值是.
試題解析：(Ⅰ),所以 ．  
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值；                 3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即．
因此，有．      7分
（Ⅲ）不等式化為所以
對任意恒成立．令，
則，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/d/1ptdv2.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．故整數(shù)的最大值是.        13分
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性和最值；2.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中，．
(Ⅰ)若的最小值為，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l1，在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l2，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米2萬元，設(shè)∠EFB= α,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為W．

（1）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應(yīng)的角α．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某出版社新出版一本高考復(fù)習(xí)用書，該書的成本為5元/本，經(jīng)銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務(wù)費(fèi)，經(jīng)出版社研究決定，新書投放市場后定價(jià)為元/本（9≤≤11），預(yù)計(jì)一年的銷售量為萬本．
(1)求該出版社一年的利潤（萬元）與每本書的定價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)每本書的定價(jià)為多少元時(shí)，該出版社一年的利潤最大，并求出的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）令，其圖象上存在一點(diǎn)，使此處切線的斜率，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（Ⅱ）若，對定義域內(nèi)任意x,均有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？
（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)，恒成立。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)，，，為函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，若過，兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)，函數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)、，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)在處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若，求在區(qū)間上的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案