Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且短軸的一個端點到左焦點F的距離是，經(jīng)過點F且不垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點．點O為坐標原點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）在線段OF上存在點M（m，0）（點M不與點O，F(xiàn)重合），使得以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用短軸的一個端點到左焦點點F的距離是，離心率為，可求橢圓幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，可得，從而可得，由此可得m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為短軸的一個端點到左焦點點F的距離是，離心率為，
所以a=，c=1        
所以b²=a²-c²=1
所以橢圓C的標準方程是                  …（4分）
（Ⅱ）因為直線l與x軸不垂直，且交橢圓C于A，B兩點，所以設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
因為以MA，MB為鄰邊的平行四邊形MANB是菱形，所以．
所以（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
因為x₁≠x₂，
所以（x₁+x₂-2m）+k²（x₂+x₁+2）=0．
所以（-2m）+k²（+2）=0．
所以．
因為k≠0，所以．
所以m的取值范圍是．…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．