Question

7．設(shè)有序集合對（A，B）滿足：A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B=∅，記CardA，CardB分別表示集合A、B的元素個(gè)數(shù)，則符合條件CardA∉A，CardB∉B的集合的對數(shù)是44．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得CardA+CardB=8，進(jìn)而分7種情況討論，依次求出每種情況下的符合條件CardA∉A，CardB∉B的集合的對數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B=∅，則必有CardA+CardB=8，
分7種情況討論：
①、CardA=1，則CardB=7，則集合A中必須有7，集合B中含有其他元素，
即A={7}，B={1，2，3，4，5，6，8}；有1種情況，
②、CardA=2，則CardB=6，
則集合A有2個(gè)元素，且其中必須有6，不能有2，可以在其余6個(gè)元素中任選1個(gè)，有C₆¹=6種情況，
集合B中含有其他元素，共有6×1=6種情況，
③、CardA=3，則CardB=5，
則集合A有3個(gè)元素，且其中必須有5，不能有3，可以在其余6個(gè)元素中任選2個(gè)，有C₆²=15種情況，
集合B中含有其他元素，共有15×1=15種情況，
④、CardA=4，則CardB=4，集合A、B中不能有4，不合題意；
⑤、CardA=5，則CardB=3，
則集合A有5個(gè)元素，且其中必須有3，不能有5，可以在其余6個(gè)元素中任選4個(gè)，有C₆⁴=15種情況，
集合B中含有其他元素，共有15×1=15種情況，
⑥、CardA=6，則CardB=2，
則集合A有6個(gè)元素，且其中必須有2，不能有6，可以在其余6個(gè)元素中任選5個(gè)，有C₆⁵=6種情況，
集合B中含有其他元素，共有6×1=6種情況，
⑦、CardA=7，則CardB=1，
則集合A有7個(gè)元素，且其中必須有1，不能有7，即B={7}，A={1，2，3，4，5，6，8}；有1種情況，
則一共有1+6+15+15+6+1=44種情況；
故答案為：44．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及集合交集．并集的計(jì)算，關(guān)鍵是理解CardA∉A，CardB∉B的含義，由此進(jìn)行分類討論．