Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)，則方程實數(shù)解的個數(shù)是（ ）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增和在任意區(qū)間，上，函數(shù)的值為定值得在任意區(qū)間，上，方程至多有一個實數(shù)解，再分別對時，時，時，求得的解，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，，時，恒成立，即無解，從而得選項。

由題意知，，，，則時，。

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由，，知：在任意區(qū)間，上，函數(shù)的值為定值。

則在任意區(qū)間，上，方程至多有一個實數(shù)解。

①當(dāng)時，，令，解得,

故此時有唯一解；

②當(dāng)時，，令，解得,

故此時有唯一解；

③當(dāng)時，，令，解得，

故此時有唯一解；

④當(dāng)時，，令，解得,

故此時無解，因為，所以恒成立；

⑤設(shè)，，時，恒成立，

而，，時，，

則恒成立等同于恒成立，

當(dāng)，，時，

，

所以當(dāng)，，時，則有仍然恒成立。

由④知時，即時，恒成立，

則，，時，恒成立，即無解。

綜上所述，方程的實數(shù)根為，以及，共3個。

故選：C。