Question

已知函數(shù)．
（I）若f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（II）當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）整理函數(shù)求出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)定義域得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0不能恒成立，所以只能整理導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，分離參數(shù)得到結(jié)論．
（II）當(dāng)m=1時，構(gòu)造新函數(shù)g（x），對新函數(shù)求導(dǎo)，得到新函數(shù)在[0，1]上遞增，利用遞增函數(shù)的定義，寫出遞增所滿足的條件，在構(gòu)造新函數(shù)h（x），同理得到函數(shù)在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結(jié)論．
解答：解：（I），
∴．
對，，故不存在實(shí)數(shù)m，
使對恒成立，
由對恒成立得，
m≥對恒成立
而＜0，故m≥0
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m≥0時，對恒成立
∴當(dāng)m≥0時，f（x）為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（II）證明：當(dāng)m=1時，令
，
在[0，1]上總有g(shù)′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上遞增
∴當(dāng)1≥a＞b≥0時，g（a）＞g（b），
即．
令，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即
綜上所述，當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時，＜．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查根據(jù)需要構(gòu)造新函數(shù)，考查遞增函數(shù)的定義，考查函數(shù)的恒成立問題，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個中檔題．