如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O為AC中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：A1O⊥平面ABC；

(Ⅱ)求直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值；

(Ⅲ)在BC1上是否存在一點(diǎn)E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)證明：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4856/0017/c5867edbb31036cbaabadc5a88afcc77/C/Image96.gif" width=60 HEIGHT=20>，且O為AC的中點(diǎn)，

　　所以　　1分

　　又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，

　　所以平面　　4分

　　(Ⅱ)如圖，以O為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

　　由題意可知，又；

　　．

　　所以得：

　　則有：

　　設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

　　，令，得

　　所以　　6分

　　．

　　因?yàn)橹本�與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以　　8分

　　(Ⅲ)設(shè)

　　即，得

　　所以得　　10分

　　令平面，得，

　　即得

　　即存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn)　　12分


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CC1⊥平面ABC，AC=BC=CC1=1，則直線A1C1和平面ACB1的距離等于
 
．精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，AB=AC．
（1）證明：DE⊥平面BCC1
（2）設(shè)B1C與平面BCD所成的角的大小為30°，求二面角A-BD-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黑龍江）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=
12
AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，D是BC中點(diǎn)，且AA1=AB
（1）證明：AD⊥BC1
（2）證明：A1C∥平面AB1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•大連二模）如圖，三棱柱ABC-A′B′C′，cc′=
2
，BC′=
2
，BC=2，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面A′BC′；
（Ⅱ）若AC≤
2
，且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為
7
3
，求二面角C-AA'-B的大�。�

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