Question

雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為2

6

，右焦點為F（c，0）（c＞0），直線l：x=

a2

c

與x軸交于點A，且|OF|=3|OA|．過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若

AP

•

AQ

=0，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依題意聯(lián)立方程組求得a和c，則b可求得，進而求得雙曲線的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，PQ方程可得．此時，

AP

•

AQ

≠0，應(yīng)舍去．進而設(shè)出直線PQ的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

AP

•

AQ

=0求得（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，最后聯(lián)立方程組求得k．則直線方程可得．

解答：解．（Ⅰ）由題意，設(shè)曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知

a2+6=c2 c= 3a2 c

解得a=

3

，c=3
所以雙曲線的方程：

x2

3

-

y2

6

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F(xiàn)（3，0），
當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x=3．此時，

AP

•

AQ

≠0，應(yīng)舍去．
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3）．
由方程組

x2 3 - y2 6 =1 y=k(x-3)

得（k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0
由于過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則k²-2≠0，即k≠±

2

，
由于△=36k⁴-4（k²-2）（9k²+6）=48（k²+1）＞0得k∈R．
∴k∈R且k≠±

2

（*）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 6k2 k2-2 (1) x1x2= 9k2+6 k2-2 (2)

由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]（3）
∵

AP

•

AQ

=0，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得

9k2+6

k2-2

-

6k2

k2-2

+1+k2(

9k2+6

k2-2

-3

6k2

k2-2

+9)=0
整理得k²=

1

2

，
∴k=±

2

2

滿足（*）
∴直線PQ的方程為x-

2

y-3=0或x+

2

y-3=0

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．當(dāng)涉及求直線方程時，一定要考慮斜率不存在的情況．