已知y=3cos2x+2
3
sinxcosx+sin2x,x∈R
.求:
(1)函數(shù)的最小正周期;函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-
π
4
π
4
]
時,函數(shù)的最大值、最小值;
(3)函數(shù)的圖象是y=sinx經(jīng)過怎樣的變化得到的?
分析:將函數(shù)解析式三項分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),
(1)找出ω的值,代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期;根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集得到函數(shù)的遞減區(qū)間;
(2)由x的范圍,求出這個角的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)的值域,根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值與最小值;
(3)y=sinx圖象向左平移
π
6
個單位,然后橫坐標(biāo)縮短到原來的
1
2
倍,縱坐標(biāo)不變,再縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,橫坐標(biāo)不變,最后向上平移2個單位,得到y(tǒng)=2sin(2x+
π
6
)+2.
解答:解:y=3cos2x+2
3
sinxcosx+sin2x
=3×
1+cos2x
2
+
3
sin2x+
1-cos2x
2

=
3
sin2x+cos2x+2
=2sin(2x+
π
6
)+2,
(1)∵ω=2,∴T=
2
=π;
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ(k∈Z),
解得:kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z,
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈Z;
(2)∵x∈[-
π
4
,
π
4
],
∴2x+
π
6
∈[-
π
3
,
3
],
∴sin(2x+
π
6
)∈[-
3
2
,1],
則函數(shù)的最大值為4,最小值為2-
3
;
(3)y=sinx圖象向左平移
π
6
個單位,得到y(tǒng)=sin(x+
π
6
),
橫坐標(biāo)縮短到原來的
1
2
倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=sin(2x+
π
6
),
縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,橫坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=2sin(2x+
π
6
),
向上平移2個單位,得到y(tǒng)=2sin(2x+
π
6
)+2.
點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及三角函數(shù)的圖象變換,靈活運用三角函數(shù)的恒等變換將函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x

(1)將f(x)的解析基本功化成Asin(ωx+φ)+b的形式,并求函數(shù)f(x)圖象離y軸最近的對稱軸的方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
內(nèi)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
+x)+
3
cos2x-1,x∈R

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)函數(shù)f(x)的圖象由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?(寫出變換過程)
(3)在△ABC中,若f(C)=
3
, 2sinB=cos(A-C)-cos(A+C)
,求tanA的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知設(shè)函數(shù)f(x)=sinxcosx-
3
cos2x
(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x-
π
4
)+
3
2
,求y=g(x)在[0,
π
4
]
上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R,
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)該函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?

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