Question

【題目】邊長(zhǎng)為的菱形,其頂角為.用 分別平行的三組等距平行線(xiàn),將菱形劃分成個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形.試求以圖中的線(xiàn)段為邊的梯形個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】

【解析】

由于圖中任兩條線(xiàn)段所在的直線(xiàn),或者平 行或者相交成60°的銳角,

因此,由圖中線(xiàn)段組成的所有梯形都是底角為60°的等腰梯形.對(duì)于這種梯形,

若兩腰延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)在菱形內(nèi)部或周界上,則稱(chēng)為“內(nèi)置梯形”;若交點(diǎn)在菱形外,則稱(chēng)為“外延梯形”.

(1)先求內(nèi)置梯形的個(gè)數(shù).

將邊長(zhǎng)為的正三角形稱(chēng)為“級(jí)三角形”,相應(yīng)地,下底(較長(zhǎng)底邊)的長(zhǎng)為的梯形稱(chēng)為“級(jí)梯形”,

再將腰長(zhǎng)為的級(jí)梯形稱(chēng)為“梯 形”.

圖中所有正三角形,要么頂點(diǎn)朝上,要么頂點(diǎn)朝下,分別稱(chēng)作“順置三角形”與“倒置三角形”.

易見(jiàn),每個(gè)梯形,可看作是由一個(gè)級(jí)三角形切去一個(gè)級(jí)三角形而得到的.

每個(gè)級(jí)三角形所切出的級(jí)梯形有種情況(其中,梯形各3個(gè)).

現(xiàn)計(jì)算圖中級(jí)三角形的個(gè)數(shù):取為原點(diǎn)并以為軸、軸建立斜角坐標(biāo)系,每個(gè)級(jí)順置三角形,下底左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)可取共個(gè)值,縱坐標(biāo)也可取共個(gè)值.因此,級(jí)順置三角形有個(gè).據(jù)對(duì)稱(chēng)性, 級(jí)倒置三角形也有個(gè).從而, 級(jí)三角形有個(gè).于是, 級(jí)內(nèi)置梯形有個(gè).

求和得

(2)再求外延梯形的個(gè)數(shù).

先考慮外延交點(diǎn)在線(xiàn)段AB外側(cè)的情況.如圖 10,任取,使,設(shè)諸點(diǎn)的斜角坐標(biāo)為:,,,.延長(zhǎng),交直線(xiàn)于點(diǎn),位于延長(zhǎng)線(xiàn)上的交點(diǎn)共有個(gè).對(duì)于確定的,為一個(gè)倒置正三角形,當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng),由于 ,

這兩條線(xiàn)段間的平行線(xiàn)共有條(包括這兩條線(xiàn)在內(nèi)),任兩條這種平行線(xiàn)都在截出一個(gè)梯形.因此,這種梯形共有個(gè),它們都以為外延交點(diǎn).而延長(zhǎng)線(xiàn)位于外側(cè)的交點(diǎn)共有個(gè),故當(dāng)固定時(shí),共得到個(gè)外延梯形.現(xiàn)讓取遍,因此,位于外側(cè)的全部外延點(diǎn)共形成個(gè)外延梯形.

據(jù)對(duì)稱(chēng)性,在菱形另三條邊外側(cè)的外延點(diǎn),也分別形成同樣數(shù)目的外延梯形,從而,全部外延梯形的個(gè)數(shù)為

故