Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（x2+ax+a）（a∈R） （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=﹣1，判斷f（x）是否存在最小值，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R．f'（x）=ex[x2+（a+2）x+2a]=ex（x+2）（x+a） 令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=﹣a
當(dāng)﹣a=﹣2，即a=2時，f'（x）≥0恒成立，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，+∞），無單調(diào)減區(qū)間
當(dāng)﹣a＜﹣2，即a＞2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，﹣2）	﹣2	（﹣2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣a，﹣2）
當(dāng)﹣a＞﹣2，即a＜2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（﹣a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，﹣a）
（Ⅱ）f（x）有最小值，
∵a=﹣1，
∴f（x）=ex（x2﹣x﹣1）．
令f（x）=0得 ．
所以f（x）有兩個零點．
當(dāng) 或 時，f（x）＞0，
當(dāng) 時，f（x）＜0，
由（Ⅰ）可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上單調(diào)增，在（﹣2，1）上單調(diào)減，
∴f（x）有最小值f（1）．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷，需要分類討論，（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可判斷．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．