Question

（I）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：

①當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；②求的所有可能值；

（II）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列。

 

Answer 1

【答案】

（I）①；②

（II）略

【解析】本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用。

（I）①當(dāng)時(shí)， 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則。

若刪去，則有，即，化簡得；

若刪去，則有，即，化簡得。

綜上可知。

②當(dāng)時(shí)， 中同樣不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)。

若刪去，則有，即，化簡得；

若刪去，則有，即，化簡得，舍去；

若刪去，則有，即，化簡得。

當(dāng)時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)和末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去，也有，這與矛盾；若刪去中的任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。綜上可知。

（II）略