Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，值域也為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在；

【解析】

(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)已知條件在處的切線方程為可求出，，即得到，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論即可.

(2)先假設(shè)存在符合題意的正實(shí)數(shù)，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到它的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間，從而可求得的最小值大于或等于零即可.

解：（1）∵，∴.

又∵，∴，∴.

∴，∴.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，得.

令，得，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）假設(shè)存在符合題意的正實(shí)數(shù)，

由，得.

∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∵，且當(dāng)時(shí)，，

∴存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即①，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴.

由，得，

∴

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，得，此時(shí)，

把，代入①也成立.

故存在正實(shí)數(shù)，使得定義域?yàn)?/span>時(shí)，值域也為.