Question

【題目】如圖，五面體中，，底面是正三角形，，四邊形是矩形，二面角為直二面角．

（1）在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在何處時(shí)，有平面，并說明理由；

（2）當(dāng)平面時(shí)，求二面角余弦值．

Answer 1

【答案】（1）為中點(diǎn)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）可先猜想，再證明.假設(shè)為中點(diǎn)時(shí)，有平面．連結(jié)交于，連結(jié)，可證得為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，從而，根據(jù)線面平行的判定定理即可證得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得二面角余弦值．

試題解析：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有平面．

證明：連結(jié)交于，連結(jié)，

∵四邊形是矩形，

∴為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，從而，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，

所以，，

設(shè)為平面的法向量，則有即

令，可得平面的一個(gè)法向量為，

而平面的一個(gè)法向量為，

所以，

故二面角的余弦值為．