設(shè)M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.”

(1)若函數(shù)f(x)為集合M中的任一元素,試證明方程f(x)-x=0只有一個實根;

(2)判斷函數(shù)g(x)=+3(x>1)是否是集合M中的元素,并說明理由;

(3)“對于(2)中函數(shù)g(x)定義域內(nèi)的任一區(qū)間[m,n],都存在x0∈[m,n],使得g(n)-g(m)=(n-m)g′(x0)”,請利用函數(shù)y=lnx的圖像說明這一結(jié)論.

解析 (1)令h(x)=f(x)-x,則h′(x)=f′(x)-1<0,

即h(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以,使h(x)=0,即f(x)-x=0成立的x至多有一解.

又由題設(shè)①知方程f(x)-x=0有實數(shù)根,

所以,方程f(x)-x=0只有一個實數(shù)根.

(2)由題意知,g′(x)=⊂(0,1),滿足條件.

令F(x)=g(x)-x=-+3(x>1),

則F(e)=->0,F(xiàn)(e2)=-+2<0.

又F(x)在區(qū)間[e,e2]上連續(xù),所以F(x)在[e,e2]上存在零點x0,即方程g(x)-x=0有實數(shù)根x0∈[ee2],故g(x)滿足條件①.

綜上可知,g(x)∈M.

(3)由(1)知:g(n)-g(m)=(n-m)-(lnn-lnm),

而(n-m)g′(x0)=(n-m)(),

所以原式等價于.

該等式說明函數(shù)y=lnx(x>1)上任意兩點A(m,lnm)和B(n,lnn)的連線段AB(如圖所示),在曲線y=lnx(m≤x≤n)上都一定存在一點P(x0,lnx0),使得該點處的切線平行于AB,根據(jù)y=lnx(x>1)圖像知該等式一定成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合:①f(x)的定義域為R;②存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分別單調(diào)遞增,在(a,b)上單調(diào)遞減.
(I)設(shè)f1(x)=x•|x-2|,f2(x)=x3-3x2+3x,判斷f1(x),f2(x)是否在集合M中,并說明理由;
(II)求證:對任意的實數(shù)t,f(x)=
-x+tx2+1
都在集合M中;
(Ⅲ)是否存在可導函數(shù)f(x),使得f(x)與g(x)=f'(x)-x都在集合M中,并且有相同的單調(diào)區(qū)間?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:北京市海淀區(qū)2010屆高三上學期期中考試數(shù)學文科試題 題型:044

設(shè)集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合:

①f(x)的定義域為R;

②存在ab,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分別單調(diào)遞增,在(a,b)上單調(diào)遞減.

(Ⅰ)設(shè)f1(x)=x·|x-2|,f2(x)=x3-3x2+3x,判斷f1(x),f2(x)是否在集合M中,并說明理由;

(Ⅱ)求證:對任意的實數(shù)t,f(x)=都在集合M中;

(Ⅲ)是否存在可導函數(shù)f(x),使得f(x)與g(x)=(x)-x都在集合M中,并且有相同的單調(diào)區(qū)間?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:廣東省期末題 題型:解答題

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:在定義域D內(nèi)存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立。
(Ⅰ)函數(shù)是否屬于集合M?說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=kx+b屬于集合M,試求實數(shù)k和b滿足的約束條件;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)屬于集合M,求實數(shù)a的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年北京市海淀區(qū)高三(上)期中數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合:①f(x)的定義域為R;②存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分別單調(diào)遞增,在(a,b)上單調(diào)遞減.
(I)設(shè)f1(x)=x•|x-2|,f2(x)=x3-3x2+3x,判斷f1(x),f2(x)是否在集合M中,并說明理由;
(II)求證:對任意的實數(shù)t,f(x)=都在集合M中;
(Ⅲ)是否存在可導函數(shù)f(x),使得f(x)與g(x)=f'(x)-x都在集合M中,并且有相同的單調(diào)區(qū)間?請說明理由.

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