Question

（本小題１4分）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

（１）請用分別表示｜GE｜、｜EH｜的長

（2）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm²）最大，試問x應取何值？

H

（3）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

 

Answer 1

【答案】

（１）｜GE｜=   ｜EH｜=

（2）當x=15時，S取得最大值

（3）當x=20時，V取得極大值，也是最大值.

此時，即包裝盒的高與底面邊長的比值為

【解析】第一問中利用已知的圖像可知，結合正方形的特點得到。

第二問中，設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得

得到然后結合導數的思想求解最大值

第三問中，表示然后結合導數來求解體積的最值問題。

解：｜GE｜=   ｜EH｜=

設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得

(2)

所以當x=15時，S取得最大值. 

（3）.

由得x=0（舍）或x=20.

當時，；當時，

所以當x=20時，V取得極大值，也是最大值.

此時，即包裝盒的高與底面邊長的比值為