Question

【題目】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn ．
（1）若Sn=2n﹣1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若a1= ，Sn=anan+1 ， an≠0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列，是否存在無(wú)窮等比數(shù)列{bn}，使得an+1=anbn恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1時(shí)，a1=S1=2﹣1=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，

上式對(duì)n=1也成立．

綜上可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1；

（2）解：a1= ，Sn=anan+1，an≠0，

可得a1=a1a2，a1≠0，可得a2=1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=anan+1﹣an﹣1an，

即有an+1﹣an﹣1=1，

即有數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，

可得a2n﹣1= +n﹣1= ，a2n=1+n﹣1=n= ，

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= ；

（3）解：設(shè)an=c+dn，假設(shè)存在無(wú)窮等比數(shù)列{bn}，使得an+1=anbn恒成立．

設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則bn+1=qbn，

即有 =q ，

即an+2an=qan+12，

則（dn+2d+c）（dn+c）=q（dn+d+c）2對(duì)一切n為自然數(shù)成立．

即（d2﹣qd2）n2+2（1﹣q）d（c+d）n+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0對(duì)n∈N*成立．

取n=1，2，3可得（d2﹣qd2）+2（1﹣q）d（c+d）+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0①

4（d2﹣qd2）+4（1﹣q）d（c+d）+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0②

9（d2﹣qd2）+6（1﹣q）d（c+d）+c（2d+c）﹣q（d+c）2=0③

由恒成立思想可得d2﹣qd2=0，（1﹣q）d（c+d）=0，c（2d+c）﹣q（d+c）2=0，

當(dāng)d=0時(shí)，an=c＞0，所以bn=1（n∈N*），檢驗(yàn)滿足要求；

當(dāng)d≠0，q=1，所以c（2d+c）﹣q（d+c）2=0，則d=0，矛盾．

綜上可得，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的公差d=0，存在無(wú)窮等比數(shù)列{bn}，

使得an+1=anbn恒成立，且bn=1；

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的公差d≠0，不存在無(wú)窮等比數(shù)列{bn}，

使得an+1=anbn恒成立．

【解析】（1）由數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求出a1=a1a2，a1≠0，可得a2=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=anan+1﹣an﹣1an，即有an+1﹣an﹣1=1，即有數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求通項(xiàng)；（3）設(shè)an=c+dn，假設(shè)存在無(wú)窮等比數(shù)列{bn}，使得an+1=anbn恒成立．設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則bn+1=qbn，

即有 =q ，則（dn+2d+c）（dn+c）=q（dn+d+c）2對(duì)一切n為自然數(shù)成立．展開(kāi)等式，取n=1，2，3，再由恒成立思想，可得d，q的值，解方程即可判斷存在性．