【題目】已知函數(shù)f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),且a>0.
(1)求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值;
(3)設(shè)a>1,b>0,求證: .
【答案】
(1)解:f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=﹣ + ,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
所以f′(x)=﹣ + ≥0在(1,+∞)上恒成立,
即x≥ 在(1,+∞)上恒成立,
所以只需1≥ ,
又因?yàn)閍>0,所以a≥1
(2)解:因?yàn)閤∈[0,+∞),所以g′(x)= ﹣1= ≤0
所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值為g(0)=0
(3)解:證明:因?yàn)閍>1,b>0,所以 >1,
由(1)知f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),所以f( )>f(1),
即 +ln >0,化簡得 <ln ,
又因?yàn)? =1+ ,
由第(2)問可知g( )=ln(1+ )﹣ <g(0)=0,
即ln < ,
綜上 得證
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)=﹣ + ≥0在(1,+∞)上恒成立,運(yùn)用參數(shù)分離,求得最值即可;(2)求得g(x)的導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)性,即可得到最小值;(3)由(1)知f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),所以f( )>f(1),由第(2)問可知g( )=ln(1+ )﹣ <g(0)=0,化簡即可得證.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個實(shí)數(shù)根.
(1)是否存在實(shí)數(shù)k,(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣ 成立?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
(2)求使 + ﹣2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為: = , = ﹣ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax﹣1(e為自然對數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)當(dāng)a=1時,求過點(diǎn)(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=log (x2﹣2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞,0)
D.(﹣∞,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|(x﹣2m+1)(x﹣m+2)<0},B={x|1≤x+1≤4}.
(1)若m=1,求A∩B;
(2)若A∩B=A,求實(shí)數(shù)m的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn),則異面直線DE與BC所成的角的余弦值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一艘船在航行過程中發(fā)現(xiàn)前方的河道上有一座圓拱橋.在正常水位時,拱橋最高點(diǎn)距水面8m,拱橋內(nèi)水面寬32m,船只在水面以上部分高6.5m,船頂部寬8m,故通行無阻,如圖所示.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求正常水位時圓弧所在的圓的方程;
(2)近日水位暴漲了2m,船已經(jīng)不能通過橋洞了.船員必須加重船載,降低船身在水面以上的高度,試問:船身至少降低多少米才能通過橋洞?(精確到0.1m, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)P在圓O:x2+y2=8上運(yùn)動,PD⊥x軸,D為垂足,點(diǎn)M在線段PD上,滿足 .
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)Q(1, )作直線l與點(diǎn)M的軌跡相交于A、B兩點(diǎn),使點(diǎn)Q為弦AB的中點(diǎn),求直線l的方程.
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