設函數(shù) ()．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）試通過研究函數(shù)（）的單調(diào)性證明：當時，；

（Ⅲ）證明：當,且均為正實數(shù),  時，．

 

【答案】

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導數(shù)，討論真數(shù)與1的大小來判斷的正負；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性證明大小關系；（3）利用柯西不等式列出不等式，兩邊取冪，兩邊去倒數(shù)，利用不等式的性質(zhì)證明.

試題解析：（Ⅰ）由，有，     1分

當，即時，單調(diào)遞增；

當，即時， 單調(diào)遞減；

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．      3分

（Ⅱ）設（），則，5分

由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，且，

∴在恒成立，故在單調(diào)遞減，

又，∴，得，

∴，即：．8分

（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                            

所以，

.      11分

又，由（Ⅱ）可知，

即，即.

則.

故.  14分

考點：1.用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大��；3.柯西不等式.

 

練習冊系列答案
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1
x
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（Ⅱ）討論g（x）與g(
1
x
)的大小關系；
（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜
1
x
對任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在請說明理由．

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16、給定k∈N*，設函數(shù)f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數(shù)n：f（n）=n-k
（1）設k=1，則其中一個函數(shù)f（x）在n=1處的函數(shù)值為
a（a為正整數(shù)）
；
（2）設k=4，且當n≤4時，2≤f（n）≤3，則不同的函數(shù)f的個數(shù)為
16
．

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設函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=
1
1+
1
x
的定義域為M，值域為N，那么（　�。�
A、M={x|x≠0}，N={y|y≠0}
B、M={x|x≠0}，N={y|y∈R}
C、M={x|x＜0且x≠-1，或x＞0}，N={y|y＜0或0＜y＜1或y＞1}
D、M={x|x＜-1或-1＜x＜0或x＞0}，N={y|y≠0}

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