（08年杭州學(xué)軍中學(xué)）  已知橢圓C：(.

（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍;

（3）如圖，過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形一邊的距離為，試求時滿足的條件.

 

 

解析：（1） 

（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：

由得.

,（1）

又

由 ∴

所以

                       

（2）

由（1）（2）得：。

（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點(diǎn)O到各邊的距離相等。

當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，

當(dāng)P不在y軸上時，設(shè)直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由，得(1)，同理(2)

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化簡得，

，即。

綜上，d=1時a,b滿足條件

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