【題目】已知函數(shù)f (x)=(x-2)ex+a(x-1)2,討論f (x)的單調性.

【答案】見解析

【解析】

先求導函數(shù),將其分解因式后,對a分類討論,分別求得導函數(shù)為0時的根的情況,利用導函數(shù)的正負解得相應的x的范圍,從而判斷原函數(shù)的單調性.

f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

①設a≥0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;

當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.

所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.

②設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

(a)若a=-,則f′(x)=(x-1)(ex-e),

所以f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.

(b)若a>-,則ln(-2a)<1,

故當x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時,f′(x)>0;

當x∈(ln(-2a),1)時,f′(x)<0.

所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上單調遞增,在(ln(-2a),1)上單調遞減.

(c)若a<-,則ln(-2a)>1,

故當x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0;

當x∈(1,ln(-2a))時,f′(x)<0.

所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上單調遞增,在(1,ln(-2a))上單調遞減.

綜上所述,當時,單增區(qū)間為(﹣∞,1)和(ln(﹣2a),+∞),單減區(qū)間為(1,ln(﹣2a));

時,只有單增區(qū)間為(﹣∞,+∞);

時,單增區(qū)間為(﹣∞,ln(﹣2a))和(1,+∞),單減區(qū)間為(ln(﹣2a),1);

a≥0時,單減區(qū)間為(﹣∞,1),單增區(qū)間為(1,+∞).

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知無窮數(shù)列的前項和為,且滿足,其中、是常數(shù).

1)若,,,求數(shù)列的通項公式;

2)若,,,且,求數(shù)列的前項和;

3)試探究、、滿足什么條件時,數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(2009年廣東卷文)某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本,用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機按1200編號,并按編號順序平均分為40組(15號,610196200號).若第5組抽出的號碼為22,則第8組抽出的號碼應是 。若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應抽取 .

2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解決問題.

已知,,__________,求.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】古代著名數(shù)學典籍《九章算術》在商功篇章中有這樣的描述:今有圓亭,下周三丈,上周二丈,問積幾何?其中圓亭指的是正圓臺體形建筑物.算法為:“上下底面周長相乘,加上底面周長自乘、下底面周長自乘的和,再乘以高,最后除以36.”可以用程序框圖寫出它的算法,如圖,今有圓亭上底面周長為6,下底面周長為12,高為3,則它的體積為( )

A. 32 B. 29 C. 27 D. 21

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】對于函數(shù)fx),若存在x0R,使fx0=x0,則稱x0fx)的一個不動點,已知fx=x2+ax+4[1,3]恒有兩個不同的不動點,則實數(shù)a的取值范圍______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】社會在對全日制高中的教學水平進行評價時,常常將被清華北大錄取的學生人數(shù)作為衡量的標準之一.重慶市教委調研了某中學近五年(2013年-2017年)高考被清華北大錄取的學生人數(shù),制作了如下所示的表格(設2013年為第一年).

年份(第年)

人數(shù)(人)

(1)試求人數(shù)關于年份的回歸直線方程;

(2)在滿足(1)的前提之下,估計2018年該中學被清華北大錄取的人數(shù)(精確到個位);

(3)教委準備在這五年的數(shù)據(jù)中任意選取兩年作進一步研究,求被選取的兩年恰好不相鄰的概率.

參考公式:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f (x)=x-(a+1)ln x-(a∈R),g (x)=x2+ex-xex.

(1)當x∈[1,e] 時,求f (x)的最小值;

(2)當a<1時,若存在x1∈[e,e2],使得對任意的x2∈[-2,0],f (x1)<g (x2)恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】a為實數(shù),函數(shù)

,求不等式的解集;

是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由;

寫出函數(shù)R上的零點個數(shù)不必寫出過程

查看答案和解析>>

同步練習冊答案